Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.5 - Ex. 39
Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva:
Passo 1
Eaeee, belezinha??? Bom... A questão pede para usarmos a roteiro apresentado na seção do livro para fazer um esboço da curva da seguinte função:
Assim, precisamos encontrar o domínio da função, interseção com eixos, limites no infinito, intervalos de crescimento, pontos críticos, fazer um estuda da concavidade e qualquer outra consideração que ajude a entender bem o comportamento da função.
Eiiita, muita coisa né??? Então vamos com calma que vai dar certo!!!
😉
Passo 2
Nosso primeiro passo é calcular o domínio.
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada para os quais a função produz um resultado válido.
Sabendo disso, é importante observar as restrições que uma função pode ter.
Analisando a nossa função, vemos que aquele cosseno não pode ser igual a pois ele geraria uma indeterminação para .
Dessa forma, a gente sabe que quando (em que é um inteiro).
Assim, o domínio de é o conjunto de todos os números, exceto múltiplos inteiros ímpares de , isto é, todos os números reais exceto , em que é um inteiro.
Passo 3
Agora precisamos achar os pontos de interceptação nos eixos.
Fazendo , temos o ponto de interceptação no eixo :
Que é a origem.
Agora, fazendo , temos:
Onde é um inteiro.
Logo, vemos que há uma periodicidade de interseção em a cada .
Passo 4
A figura haverá simetria se a função for par ou ímpar.
Para isso vamos fazer :
Logo, vemos que a função é ímpar e há simetria a partir do zero.
Além disso, como foi mostrado no Passo 3, o gráfico é simétrico a partir da origem e tem periodicidade de .
Passo 5
As assíntotas verticais ocorrem quando o denominador da função se anula.
Nesse sentido, temos que quando é um inteiro ímpar:
Assim, é uma assíntota vertical para cada inteiro ímpar .
Não há assíntota horizontal.
Passo 6
Encontrando os intervalos de crescimento e decrescimento, a gente deriva a função e verificamos se a derivada é positiva ou negativa em relação ao intervalo:
Analisando a derivada, observamos que para todo exceto variáveis ímpares de , então está crescendo em para cada inteiro.
Passo 7
Achando concavidades e pontos de inflexão por meio da derivada segunda, temos:
Fazendo a derivada segunda, encontramos:
Perceba que
O que implica em:
Assim, podemos concluir que:
Além disso:
em para cada inteiro
Em outras palavras, a função tem concavidade para baixo em para cada inteiro, e para cima em .
Também, tem ponto de inflexão e para cada inteiro, que é quando a derivada troca o sinal.
Passo 8
Com base nessas informações, podemos esboçar a seguinte curva:
Resposta
