Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.5 - Ex. 29
Use o roteiro desta seção para esboçar a curva:
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... A questão pede para usarmos a roteiro apresentado na seção do livro para fazer um esboço da curva.
Para iniciar a questão vamos relembrar um pouco da teoria:
Domínio: Conjunto de todos os valores de para os quais a função é definida.
Interseções com os Eixos:
- Eixo : Onde
- Eixo : Onde ou seja,
Simetria:
- Função Par:
- Função Ímpar:
Assíntotas:
- Assíntotas Verticais: Linhas verticais onde a função cresce sem limites.
- Assíntotas Horizontais: Linhas horizontais que a função se aproxima conforme
Derivadas e Comportamento da Função:
- Primeira Derivada Para determinar onde a função é crescente ou decrescente.
- Segunda Derivada Para determinar a concavidade e pontos de inflexão.
Os intervalos nos quais uma função é crescente (ou decrescente) correspondem aos intervalos nos quais sua derivada é positiva (ou negativa). Então, se quisermos encontrar os intervalos em que uma função é crescente ou decrescente, nós calculamos sua derivada e descobrimos onde ela é positiva ou negativa (o que é mais fácil!).
Concavidade e Pontos de Inflexão:
- Concavidade para cima:
- Concavidade para baixo:
- Pontos de Inflexão: Onde e muda de sinal.
Bora lá!! 😉
Passo 2
O primeiro passo é definir o domínio de , isto é, o conjunto dos valores de para os quais está definida.
Assim, temos que:
Passo 3
Agora devemos definir as intersecções com os eixos. Para o eixo a interseção é dada por e para o eixo fazemos e isolamos o .
Assim, temos que:
Passo 4
Devemos verificar se a função possui simetria. Temos três casos:
- Se para todo em , é uma função par e a curva é simétrica em relação ao eixo . Caso isso ocorra basta refletir a curva em torno do eixo para obter a curva completa.
- Se para todo em , é uma função ímpar e é simétrica em relação à origem. Caso isso ocorra basta girar a curva em em torno da origem para obter a curva completa.
- Se para todo em , onde é uma constante positiva, é uma função periódica e o menor desses números é chamado de período. Caso isso ocorra pode-se usar a translação de um período para esboçar o gráfico inteiro.
Tomando temos:
- Não possui período.
Logo a função se enquadra no caso ii, sendo assim uma função ímpar.
Passo 5
Devemos verificar agora se a função possui assíntotas:
- Assíntota horizontal:
- Assíntota vertical: a reta é uma assíntota vertical se pelo menos uma das seguintes afirmativas for verdadeira:
Se então a reta é uma assíntota horizontal da curva .
Se resultar que , então não temos uma assíntota à direita.
Temos:
Assim, não há assíntota horizontal e não possuímos valores para analizar que se enquadre no caso da assíntota vertical .
Logo a função não possui assíntota.
Passo 6
O próximo passo é definir os intervalos de crescimento ou decrescimento da função.
Calculamos e encontramos os intervalos nos quais é positiva ( é crescente) e os intervalos nos quais é negativa ( é decrescente) .
Derivando temos:
Então, , quando e quando , assim é crescente em e e decrescente em e .
Passo 7
Calcularemos agora os pontos críticos, números em que ou .
Aplicando o Teste da Derivada, se muda de positiva para negativa em um número crítico , então é um máximo local. Se muda de negativa para postiva em , então é um mínimo local.
Temos que:
Vamos então analisar um ponto antes e depois de cada ponto crítico.
Para :
Logo a função cresce antes de e decresce depois dele, sendo então um ponto de maxímo.
Para :
Logo a função descresce antes de e cresce depois dele, sendo então um ponto de mínimo.
Passo 8
Calcularemos agora a concavidade da função utilizando . Se a função é côncava para cima e se a função é côncava para baixo.
Assim temos que:
E , então é côncava para baixo com no intervalo de e côncava para cima com nos intervalos .
Passo 9
Por fim, esboçando a curva obtemos:
Resposta
Vide o passo a passo.