Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.7 - Ex. 33
Ache as assíntotas horizontal e vertical do gráfico de , determinando o seguinte:
Os extremos relativos de ;
Os pontos de inflexão do gráfico de ;
Os intervalos em que é crescente
Os intervalos em que é decrescente;
Onde o gráfico é côncavo para cima;
Onde o gráfico é côncavo para baixo;
A inclinação de qualquer tangente de inflexão;
As assíntotas horizontal, vertical e oblíqua, se existirem
Passo 1
Vamos começar olharando as assíntotas:
Vamos começar pela assíntota horizontal.
Assíntota horizontal: fazer o limite no infinito. Ou seja,
Como a nossa função tem apenas consseno, já podemos direto dizer que não vai ter limite.
Isso porque o cosseno é uma função que fica oscilando entre e , mas não tende a nenhum valor.
Então ele não tem assíntota horizontal.
Passo 2
Agora vamos para as assíntotas oblíquas. Só vamos fazer essas assíntotas se não existirem as horizontais. Elas substituem as horizontais por cada lado.
Se as assíntotas horizontais não existirem, talvez existir a oblíqua. Para isso, devemos achar os coeficientes e de que é a equação da assíntota obliqua.
Para isso, devemos fazer
Se esse valor existir, aí fazemos
Mesma coisa para o
Se esse valor existir, aí fazemos
Antes de derivar vamos abrir aquele seno para simplificar as contas
A nossa função vai ficar
Repara que temos duas funções contínuas, mas na troca ela vai ser contínua?
Opa, ela é descontínua ali. Então a nossa derivada vai ser direitinho pelos intervalos, menos na troca
Aqui a derivada vai ficar
Não esqueçam de colocar aquele no segundo intervalo, par excluir o
E chegamos em uma função seno e cosseno, que tem a mesma parada que o cosseno que falamos no passo anterior.
Então esses limites não vão existir e não teremos assíntotas olíquas.
Passo 3
Vamos para as verticais. Para isso, temos que procurar algum valor de que faça o limite ir para . Normalmente procuramos quando o denominador da fração for . Mas no caso de seno ou cosse isso não vai existir.
Passo 4
Vamos aos extremos e os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso temos que analisar o sinal de .
Vamos ao primeiro intervalo
O cosseno nesse intervalo vai ser sempre positivo.
No segundo intervalo:
Também temos o seno positivo. Então a função sempre será positiva.
Vamos teminar com
A função é crescente se e decrescente se , então:
Passo 5
Agora vamos ver os extremos. Pelo teste da primeira derivada, teremos máximo quando a função vai de crescente para decrescente, e mínimo quando a função for de decrescente para crescente.
A fução é sempre crescente, então não tem extremos.
Passo 6
Vamos agora para a concavidade e os pontos de inflexão. A função é côncava para cima se e côncava para baixo se .
O ponto vai ser de inflexão quando muda a concavidade.
Vamos ao primeiro intervalo
O seno nesse intervalo vai ser sempre positivo, com aquele fica negativo
No segundo intervalo:
Também temos o cosseno negativo. Então a função sempre será negativo.
Vamos teminar com
A função é côncava para cima se e para baixo se , então:
Como a função não muda a concavidade não temos ponto de inflexão.
Passo 7
Para terminar vamos ao esboço. Para isso, precisamos juntar todas as informações.
- Não possui assíntotas;
- Não possui assíntotas;
Vamos para o gráfico, ele vai ficar assim:
Resposta
Vamos para o gráfico, ele vai ficar assim:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)