O outro vai ser:

Agora pegando a outroa expressão

Vai ficar:

Então não temos assíntota horizontal desse lado.

Agora vamos para as assíntotas oblíquas. Só vamos fazer essas assíntotas se não existirem as horizontais. Elas substituem as horizontais por cada lado.

Se as assíntotas horizontais não existirem, talvez existir a oblíqua. Para isso, devemos achar os coeficientes e de que é a equação da assíntota obliqua.

Para isso, devemos fazer

Se esse valor existir, aí fazemos

Mesma coisa para o

Se esse valor existir, aí fazemos

Aqui, como temos polinômios dos dois lados, podemos achar a derivada só derivando cada expressão.

Cuidado com aquele sinal da segunda parte, usando a regra da cadeia fazemos o truque do expoente mas temos que multiplicar pela derivada do que está entre parênteses que é .

Vamos achar o limite para ver se existe . Primeiro para

Opa, não apareceu desse lado. Temos que olhar do outro agora

Também não tem, então essa função não tem assíntotas oblíquas.

Vamos para as verticais. Para isso, temos que procurar algum valor de que faça o limite ir para . Normalmente procuramos quando o denominador da fração for . Mas no caso dos polinômios isso não vai existir.

Então quando estivermos trabalhando com polinômios não vamos ter assíntotas verticais.

Vamos aos extremos e os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso temos que analisar o sinal de .

Antes de qualquer coisa, vamos verificar se a derivada existe em , que é o ponto de mudança da expressão. Porque se der diferente ali, como a derivad na verdade é um limite, teremos que considerar que não existe derivada em , mesmo que exista a função.

é a derivada pela esquerda:

é a derivada pela esquerda:

Eles deram iguais, então basta manter como está

Vamos aos sinais.

No primeiro intervalo temos , temos o que o , então aquela expressão vai ser negativa.

No segundo intervalo temos , é um termo ao quadrado, que é sempre positivo, multiplicado por um termo negativo, o que faz com que seja negativo em todo o intervalo.

Juntando tudo, vamos ter:

Isso porque ela vai ser negativa em todos os valores.

A função é crescente se e decrescente se , então:

Agora vamos ver os extremos. Pelo teste da primeira derivada, teremos máximo quando a função vai de crescente para decrescente, e mínimo quando a função for de decrescente para crescente.

Como a função é sempre crescente, não tem extremo.

Vamos agora para a concavidade e os pontos de inflexão. A função é côncava para cima se e côncava para baixo se .

O ponto vai ser de inflexão quando muda a concavidade.

De novo, para derivada basta derivarmos a expressão direto de novo.

No primeiro intervalo temos que é sempre positivo. Então:

No segundo intervalo temos , mas nele é maior que , quando fizermos menos um número maior que ele vai dar negativo.

Juntando tudo, vamos ter:

Logo

E como a concavidade muda em , ele é um ponto de inflexão.

Para terminar vamos ao esboço. Para isso, precisamos juntar todas as informações.

• Não possui assíntotas;
• ponto de inflexão
• Tangente de inflexão:

Vamos para o gráfico, ele vai ficar assim:



Resposta

• Não possui assíntotas;
• ponto de inflexão
• Tangente de inflexão:

Vamos para o gráfico, ele vai ficar assim: