Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.5 - Ex. 65

Use o roteiro desta seção para esboçar o gráfico da curva. No passo , ache uma equação para a assíntota oblíqua.

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos esboçar o gráfico da seguinte função:

Para isso, iremos esboçar a curva com base no seguinte roteiro:

A. Encontrar o domínio em que a função é definida.

B. Encontrar os interceptos. Que são os pontos onde a função cruza o eixo , isso é:

E o pontos onde a função cruza o eixo , isso é:

C. Verificar se há simetria par, isso é:

Para isso, basta substituir por e verificar se a expressão se mantém a mesma.

D. Procurar por assíntotas horizontais e verticais.

Uma assíntota horizontal é um valor real para o qual a função tende quando tende para infinito:

Já uma assíntota vertical é um valor de no qual a função possui uma descontinuidade e tende para infinito.

E. Encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso, basta derivar a função e nos intervalos em que a derivada for positiva a função cresce

E nos intervalos em que a derivada for negativa a função decresce

F. Encontrar os pontos de máximo e mínimo local.

Esses pontos ocorrem quando a derivada vale zero e troca de sinal ou quando a derivada possui uma descontinuidade e troca de sinal.

Caso a derivada fosse negativa e depois do ponto ela é positiva, então a função possui um ponto de mínimo local. Se a derivada era positiva e depois do ponto ela é negativa, então a função possui um ponto de máximo local.

G. Encontrar os intervalos de concavidade e pontos de inflexão.

A concavidade é para cima se a derivada segunda for positiva

E a concavidade é para baixo se a derivada segunda for negativa

Por fim, um ponto de inflexão é um ponto onde a derivada segunda vale zero e troca de sinal.

H. Esboçar a função juntando as informações obtidas.

Passo 2

Domínio

Nossa função se trata de uma fração e sabemos que seu denominador não pode ser zero.

Mas como o denominador é dado por

Temos que esse valor é sempre maior do que zero, pois para qualquer valor de .

Nossa função está definida para todos os números pertencentes aos Reais.

Passo 3

Intersecções com os eixos

No eixo , a intersecção ocorre quando

Nossa função intercepta o eixo em , portanto:

Portanto temos:

E para o outro fator temos:

Resolvendo por Bhaskara vemos que o delta dá negativo e portanto não há raízes reais.

Dessa forma, temos apenas

Nossa função intercepta o eixo em

Passo 4

Simetria

Vamos fazer para verificar a simetria:

Logo, percebemos que a função não é par e nem ímpar.

Assim, não há simetria!!

Passo 5

Assíntotas

O gráfico não possui assíntotas Verticais, pois para nenhum valor temos (como foi falado anteriormente, o sempre vai deixar qualquer número positivo... impossibilitando o denominador ser zero).

O gráfico não possui assíntotas horizontais. Isso ocorre pois quando o limite tende para , que não é um valor real.

Resolvendo por L’hospital temos:

E para menos infinito, temos o mesmo resultado

Então vamos ver se tem alguma assíntota oblíqua resolvendo o seguinte limite:

Então a reta é uma assíntota oblíqua.

Passo 6

Intervalos de crescimento e decrescimento

Derivando a função, temos:

Fatorando temos:

Como o denominador está elevado ao quadrado ele sempre é positivo.

também sempre é positivo.

E também sempre é positivo, afinal sempre é positivo.

Dessa forma, está sempre crescendo, com exceção de que é onde a derivada é igual a zero.

Passo 7

Valores de máximo e mínimo locais

Até temos um ponto crítico em

Mas como a função crescia antes desse ponto e depois dele continua crescendo, ele não é um ponto de máximo nem de mínimo. Possivelmente ele é um ponto de inflexão.