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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 1.3 - Ex. 39

Encontre as funções f ∘ g ∘ h

f x = x - 3 ,               g x = x 2 ,                 h x = x 3 + 2

Passo 1

Fala aí pessoal!

Aqui estamos falando de funções compostas, que é quando a gente tem uma função dentro da outra. Ou uma função dentro da outra dentro da outra kkkkkkk não se assusta!

Vamos lembrar que a composição f ∘ g ∘ h também pode ser escrita assim:

f ∘ g ∘ h = f g h x

Em outras palavras f é uma função de g que é uma função de h . Então nós temos que colocar h dentro de g dentro de f . Isso significa pegar a função e colocar no de x na outra função.

Mas vamos fazer uma coisa de cada vez! Primeiro vamos achar:

g h ( x )

E só depois vamos pegar esse resultado e achar:

f g h x

Passo 2

Pra achar g h ( x ) precisamos pegar g x e substituir x por h x = x 3 + 2 :

g x = x 2

g h x = g x 3 + 2 = x 3 + 2 2

Pronto, achamos! Agora só vamos escrever de um jeito melhor. Lembra daquele produto notável do quadrado da soma?

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2

Aplicando na nossa expressão:

x 3 + 2 2 = x 6 + 4 x 3 + 4

E a nossa primeira função composta fica:

g h ( x ) = x 6 + 4 x 3 + 4

Passo 3

Agora, pra achar f g h x

Pegamos a função f ( x ) e substituímos x pelo resultado do passo anterior g h ( x ) = x 6 + 4 x 3 + 4 :

f x = x - 3

f g h x = f x 6 + 4 x 3 + 4 = x 6 + 4 x 3 + 4 - 3

Somando as constantes:

x 6 + 4 x 3 + 4 - 3 = x 6 + 4 x 3 + 1

Finalmente achamos nossa f ∘ g ∘ h

f ∘ g ∘ h = f g h x = x 6 + 4 x 3 + 1

Resposta

f ∘ g ∘ h = x 6 + 4 x 3 + 1

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