Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.11 - Ex. 12
- Use a série binomial para expandir .
- Use a parte a) para encontrar a série de Maclaurin para .
Passo 1
Precisamos começar relembrando como podemos escrever uma série binomial. Portanto, seja , então,
Portanto, nosso primeiro passo é escrever a função da questão como esta função , identificando cada um dos termos. Logo,
Agora, vamos substituir os valores e no lugar de colocar na série.
Agora, precisamos expandir esse termo binomial e descobrir o padrão.
Passo 2
Vamos começar a expandir o termo binomial e entender o padrão dele.
Portanto, o padrão para é:
Sendo assim, a nossa série é
E esta é a nossa série.
Passo 3
Agora que a gente resolveu a letra a), podemos partir para a letra b).
Um questionamento surge ao lermos o que a letra b): qual o motivo da questão pedir para usarmos a série que obtivemos na letra a) para explicar uma função totalmente diferente? Como assim???
Pois é, tudo no final tem um sentido. E, para esta questão, esse sentido é dado quando colocamos a palavra derivada junto de tudo.
A relação entre a função da letra a) com a da letra b) é dada por:
Cuidado para não se esquecerem dessa constante ! Resolvemos uma integral indefinida, então sempre colocamos a constante! Mas é assim que vamos terminar a questão? Sem determinar a constante?
Claro que não! Vamos utilizar algum valor fácil que a gente conhece para descobrir quem é esse . E que tal ? Esse valor é perfeito para isso, pois:
Que massa né! E por então, a nossa série é: