Use a série binomial para expandir a função como uma série de potências. Estabeleça o raio de convergência.

Portanto, nosso primeiro passo é reescrever a função :

A gente quer uma função parecida com a da série binomial , então no lugar desse tem que aparece um . Vamos colocar o em evidência então:

Como , a função fica:

Vamos comparar com a série binomial:

Esse na nossa função vai ficar de fora da série, e no percebe que no lugar do , aparece um , enquanto o expoente em vez de é , então vamos fazer essas substituições e:

Colocando na nossa função:

Agora, precisamos expandir esse termo binomial e descobrir o padrão.

A gente consegue expandir o termo binomial assim, para :

E para :

Para os coeficientes da nossa série :

Primeiro a gente pode reescrever os termos dentro dos parênteses para serem todos frações de denominador :

Agora temos termos multiplicados, todos de denominador , juntando tudo fica :

Podemos juntar o com o no denominador, e resolver essas contas do numerador:

Como é um número maior ou igual a , o termo vai ser negativo sempre! Então vamos reescrever como :

Nós temos termos negativos sendo multiplicados. Se a gente juntar todos os sinais de “”, isso fica :

E chegamos no nosso termo geral para :

Para :

Então nossa função fica assim:

Substituindo os valores que calculamos:

Podemos fazer a distributiva desse :

Vamos abrir o expoente , e colocar o pra dentro do somatório:

Juntando e todos os expoentes de no denominador, chegamos na série da nossa função:

E esta é a nossa série.

Para obtermos o raio de convergência podemos utilizar o teste da razão. Em uma série , a gente calcula o limite:

A série converge para .

Para a nossa série:

Sendo assim,

Os termos e têm sempre módulo , então podem sair, e vamos juntar os termos parecidos pra conseguir simplificar:

Agora calculamos o :

Resolvendo o limite:

Podemos reescrever isso como:

Pelo teste da razão, a série converge para

Desta forma, o raio de convergência é .