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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.4 - Ex. 34

Use a soma dos dez primeiros termos para aproximar a soma da série. Estime o erro.

∑ n = 1 ∞ e 1 / n n 4

Passo 1

Fala, pessoal! Tudo certinho?

Aqui primeiro vamos precisar calcular os 10 primeiros termos da soma da nossa série:

∑ n = 1 ∞ e 1 / n n 4

Cuja expressão é:

∑ n = 1 ∞ e 1 / n n 4 = s n = a 1 + a 2 + a 3 + … + a 10

Calculando termo a termo com n = 1,2 , 3 , … , 10 .

Depois precisamos achar o erro dessa aproximação, ou seja, a diferença entre o valor da soma dos 10 primeiros termos e o real valor da soma até o enésimo termo.

Esse erro R n é dado por:

R n ≤ ∫ n ∞ f x d x

Onde f x é nossa série a n em função de x .

Note que para achar esse erro vamos ter uma integral imprópria (infinito nos limites de integração). A gente resolve assim:

∫ 1 ∞ f ( x ) d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t f ( x ) d x

Bora pra resolução!

Passo 2

Primeiro de tudo, vamos calcular a soma dos dez primeiros termos dessa série.

∑ n = 1 10 e 1 / n n 4 = e 1 / 1 1 4 + e 1 / 2 2 4 + e 1 / 3 3 4 + … + e 1 10 10 4 ≈ 2,8474

A soma dos 10 primeiros termos da série é:

s 10 ≈ 2,8474

Passo 3

Aqui vamos começar o processo de tentar encontrar nosso erro R n :

Vamos olhar a nossa questão! Temos a seguinte série:

a n = ∑ n = 1 ∞ e 1 / n n 4

Queremos estimar o erro dessa aproximação. Podemos escrever a seguinte relação aqui:

R 10 ≤ ∫ n ∞ e 1 x x 4 d x

Temos uma integral imprópria para ser resolvida. Pra isso, nós precisaremos usar uma propriedade que envolve limites:

∫ a ∞ f x d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ a t f x d x

Desse modo, temos:

R 10 ≤ l i m t → ∞ ∫ 10 t e 1 x x 4 d x

Passo 4

Nosso objetivo é integrar ∫ e 1 x x 4 d x . Vamos chamar:

1 x = t   e - d x x 2 = d t .

Substituindo na integral, temos:

∫ e 1 x x 4 d x = ∫ - t 2 e t d t

Vamos integrar, agora, por partes! Seja u = - t 2   → d u = - 2 t d t e d v = e t d t → v = e t . Assim,

∫ - t 2 e t d t = - t 2 e t - ∫ - 2 t e t d t

∫ - t 2 e t d t = - t 2 e t + 2 ∫ t e t d t

Opa, apareceu mais uma integral que não temos solução imediata! Vamos também integrar por partes a integral ∫ t e t d t ! Seja u = t → d u = d t e d v = e t d t → v = e t . Assim,

∫ t e t d t = t e t - ∫ e t d t = t e t - e t = e t t - 1

Voltando com esse resultado na integral anterior, temos:

∫ - t 2 e t d t = - t 2 e t + 2 e t t - 1 = e t ( - t 2 + 2 t - 2 )

Voltando para a variável original, temos:

∫ 10 ∞ e 1 x x 4 d x = l i m t → ∞ e 1 x - 1 x 2 + 2 x - 2 10 t

Aplicando os limites de integração e resolvendo o limite:

∫ 10 ∞ e 1 x x 4 d x = 2 - e 1 10 - 1 10 2 + 2 10 - 2 ≈ 4,000359  

Resposta

O valor da soma dos dez primeiros termos da série é:

s 10 = 2,8474

O erro estimado é:

R 10 < 4,000359  

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