Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.5 - Ex. 5
Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Passo 1
Vamos lá meus amigos, precisamos testar a série quanto a convergência ou divergência.
Veja que essa série possui um elemento do tipo: , ou seja, o valor de cada termo se alternara entre valores positivos e valores negativos e isso é característica de um tipo de série chamada série alternada.
Com isso podemos dizer com certa segurança que o teste de séries alternadas será o teste mais adequado, mas aí você me pergunta amigo. “O que é esse tal de teste de séries alternadas?” Deixa-me te explicar então. Fique atento nessa parte!
As séries alternadas tem uma forma geral nesse formato:
Aqui vai ser uma série associada, cujos termos são os valores absolutos de .
E o Teste da Série Alternada diz que a série é convergente se atender a dois critérios:
- Se , se for decrescente
- Se
Então nós temos que testar esses dois critérios.
Passo 2
Vamos olhar a nossa questão! Temos a seguinte série:
Veja que ao tirar o módulo de estou “eliminando” o elemento , pois estamos interessados apenas nos valores absolutos.
Temos que:
Vamos verificar se as condições mencionadas acima são atendidas.
-
é, de fato, decrescente porque o denominador cresce conforme o valor de cresce!
- Vamos ver o limite agora.
Como as duas condições foram atendidas, podemos dizer que, pelo Teste da Série Alternada, a série converge!
Resposta
A série converge!