Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.5 - Ex. 6
Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Passo 1
OPA!!! Vamos lá meu caro amigo, uma série nos foi dada, e é esperado que seja investigado se essa série diverge ou não.
Repare comigo que essa série possui um elemento que a torna uma série alternada:
O que isso significa? Que temos uma série do tipo alternada e, portanto, podemos utilizar o teste de séries alternadas. Você se lembra o que diz esse teste? Vou te ajudar, o teste diz o seguinte:
Se eu “criar” uma série associada à série alternada que quero investigar, de modo que minha série seja apenas os valores absolutos dos termos da série alternada, eu posso descobrir a convergência da série alternada ao analisar alguns critérios da série recém-criada. Veja:
Se a série alternada é . Então a série criada é , se for decrescente e tiver seu limite quando n. Então ambas as séries são convergente. Vamos ver na prática?
Passo 2
Vamos olhar a nossa questão! Temos a seguinte série:
Para “criarmos” basta “pegar” a série dada do exercício e “eliminar” os elementos que afetam apenas o sinal dos termos. Então temos que:
Vamos verificar se as condições para convergência são atendidas.
Primeiramente, podemos ver que
É decrescente. Pois o denominador cresce conforme o valor de cresce, enquanto o numerador permanece constante.
Vamos ver o limite agora.
Como as duas condições foram atendidas, podemos dizer que, pelo Teste da Série Alternada, a série converge!
Resposta
A série converge!