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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 62

Use a substituição do exercício 57 para transformar o integrando em uma função racional de t e então calcule a integral.

∫ π 3 π 2 1 1 + s e n   x - cos ⁡ x   d x

Passo 1

No exercício 57 vimos que a substituição

t = t g   x 2

é equivalente a

cos ⁡ x = 1 - t 2 1 + t 2     e     s e n   x = 2 t 1 + t 2

e, além disso,

d x = 2 1 + t 2   d t

Vamos usar essa substituição para resolver a integral. Assim, o integrando ficará

1 1 + s e n   x - cos ⁡ x   d x = 1 1 + 2 t 1 + t 2 - 1 - t 2 1 + t 2 ⋅ 2 1 + t 2 d t = 2 1 + t 2 + 2 t - 1 + t 2   d t

Assim,

1 1 + s e n   x - cos ⁡ x   d x = 2 2 t 2 + 2 t   d t = 1 t 2 + t   d t

Passo 2

Desta forma,

∫ π 3 π 2 1 1 + s e n   x - cos ⁡ x   d x = ∫ 3 3 1 1 t 2 + t   d t

Fazendo a decomposição:

1 t 2 + t = 1 t ( t + 1 ) = A t + B t + 1 = A t + A + B t t 2 + t

Assim, A = 1 e B = - 1 . Portanto,

∫ π 3 π 2 1 1 + s e n   x - cos ⁡ x   d x = ∫ 3 3 1 1 t - 1 t + 1 d t

Passo 3

Desta forma,

∫ π 3 π 2 1 1 + s e n   x - cos ⁡ x   d x = ln ⁡ t t + 1 3 3 1 = ln ⁡ 1 2 - ln ⁡ 3 3 + 3

Resposta

ln ⁡ 1 2 - ln ⁡ 3 3 + 3

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Calcule a integral definida. ∫ 0 π 4 8 d x tan ⁡ x + 1
Calcule a integral definida. ∫ - π 2 π 2 3 d x 2 cos ⁡ x + 1
e) ∫ t g x sec ⁡ x 3 d x
j) ∫ sec 5 ⁡ ( x ) d x
b) ∫ t g 3 x sec 4 ⁡ x d x