Use a substituição do exercício 57 para transformar o integrando em uma função racional de t e então calcule a integral.

∫ π 3 π 2 1 1 + s e n   x - cos ⁡ x   d x

Passo 1

No exercício 57 vimos que a substituição

t = t g   x 2

é equivalente a

cos ⁡ x = 1 - t 2 1 + t 2     e     s e n   x = 2 t 1 + t 2

e, além disso,

d x = 2 1 + t 2   d t

Vamos usar essa substituição para resolver a integral. Assim, o integrando ficará

1 1 + s e n   x - cos ⁡ x   d x = 1 1 + 2 t 1 + t 2 - 1 - t 2 1 + t 2 ⋅ 2 1 + t 2 d t = 2 1 + t 2 + 2 t - 1 + t 2   d t

Assim,

1 1 + s e n   x - cos ⁡ x   d x = 2 2 t 2 + 2 t   d t = 1 t 2 + t   d t

Passo 2

Desta forma,

∫ π 3 π 2 1 1 + s e n   x - cos ⁡ x   d x = ∫ 3 3 1 1 t 2 + t   d t

Fazendo a decomposição:

1 t 2 + t = 1 t ( t + 1 ) = A t + B t + 1 = A t + A + B t t 2 + t

Assim, A = 1 e B = - 1 . Portanto,

∫ π 3 π 2 1 1 + s e n   x - cos ⁡ x   d x = ∫ 3 3 1 1 t - 1 t + 1 d t

Passo 3

Desta forma,

∫ π 3 π 2 1 1 + s e n   x - cos ⁡ x   d x = ln ⁡ t t + 1 3 3 1 = ln ⁡ 1 2 - ln ⁡ 3 3 + 3

Resposta

ln ⁡ 1 2 - ln ⁡ 3 3 + 3

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Calcule a integral definida.int_0^((pi)/(4)) (8 d x)/(tan x + 1)
Calcule a integral definida.int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) (3 d x)/(2 cos x + 1)
e)int t g (x) root(3)(sec (x)) d x
j)int sec^5 ( x ) d x
b)int t g^3 (x) sec^4 (x) d x