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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 50

Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função racional e então calcule a integral.

∫ e x ( e x - 2 ) ( e 2 x + 1 ) d x

Passo 1

A questão pede para fazermos uma substituição e depois calcular a integral. Vamos fazer a substituição u = e x . Assim, d u = e x d x . Portanto,

∫ e x ( e x - 2 ) ( e 2 x + 1 ) d x = ∫ 1 u - 2 ( u 2 + 1 ) d u

Vamos fazer a decomposição do integrando:

1 u - 2 ( u 2 + 1 ) = A u - 2 + B u + C u 2 + 1 = A u 2 + 1 + ( B u + C ) ( u - 2 ) ( u - 2 ) ( u 2 + 1 )

Então,

A + B u 2 + - 2 B + C u + A - 2 C = 1

Assim,

A + B = 0 - 2 B + C = 0 A - 2 C = 1

Assim, temos que C = 2 B e A = - B , logo C = - 2 A . Portanto, A + 4 A = 1 , de modo que A = 1 / 5 . Então B = - 1 / 5 e C = - 2 / 5 .

Desta forma,

∫ 1 u - 2 ( u 2 + 1 ) d u = 1 5 ∫ 1 u - 2 d u - 1 5 ∫ u u 2 + 1 d u - 2 5 ∫ 1 u 2 + 1 d u

Passo 2

Temos que

∫ 1 u - 2 ( u 2 + 1 ) d u = 1 5 ln ⁡ | u - 2 | - 2 5 a r c t g   u - 1 5 ∫ u u 2 + 1 d u

A última integral é calculada fazendo t = u 2 + 1 , de modo que d t = 2 u   d u . Assim,

∫ u u 2 + 1 d u = 1 2 ∫ 1 t d t = 1 2 ln ⁡ t = 1 2 ln ⁡ u 2 + 1

Portanto,

∫ 1 u - 2 u 2 + 1 d u = 1 5 ln ⁡ u - 2 - 2 5 a r c t g   u - 1 10 ln ⁡ u 2 + 1

Voltando a variável x :

∫ e x ( e x - 2 ) ( e 2 x + 1 ) d x = 1 5 ln ⁡ | e x - 2 | - 2 5 a r c t g   e x - 1 10 ln ⁡ e 2 x + 1 + C

Resposta

1 5 ln ⁡ | e x - 2 | - 2 5 a r c t g   e x - 1 10 ln ⁡ e 2 x + 1 + C

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