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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.10 - Ex. 1b

b) int t g^3 (x) sec^4 (x) d x

Passo 1

I = int t g^3 (x) * sec^4 (x) d x

A estratégia nessa questão será fazer uma substituição de variável, olha só:

u = s e c (x) ( * )

Derivando,

d u = sec (x) t g (x) d x

Viu que quando derivamos apareceu o termo parecido com o que temos na nossa integral?!

Passo 2

Agora vamos arrumar a casa para encaixar as coisas!

Nossa integral era o seguinte:

I = int t g^3 (x) * sec^4 (x) d x = int t g^2 ( x ) * sec^3 (x) * sec (x) t g (x) d x

Conseguimos fazer aparecer nosso d u ! Pra finalizar, precisamos expressar tg^2 ( x ) em função de s e c ( x ) , mas sabemos o seguinte:

1 + t g^2 (x) = sec^2 ( x )

Isto é:

t g^2 (x) = sec^2 (x) - 1 = u^2 - 1

Então nossa integral fica assim ó:

I = int t g^2 ( x ) * sec^3 (x) * sec (x) t g (x) d x = int ( u^2 - 1 ) * (u^3) d u = int u^5 d u - int u^3 d u

Não esquece: int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + c quando n != - 1

Passo 3

Agora é só terminar!

I = int u^5 d u - int u^3 d u = (u^6)/(6) - (u^4)/(4) + c

Atenção: Quando temos uma indefinida, não podemos esquecer da constante c .

Voltando para a variável s e c ( x ) :

I = (sec^6 ( x ))/(6) - (sec^4 (x))/(4) + c

Resposta

(sec^6 ( x ))/(6) - (sec^4 (x))/(4) + c

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