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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.10 - Ex. 1j

j) int sec^5 ( x ) d x

Passo 1

I = int sec^5 ( x ) d x

Como temos um expoente ímpar, a estratégia é utilizar a seguinte fórmula de recorrência:

int sec^n (x) d x = (sec^(n - 2) ( x ) * t g ( x ))/(n - 1) + (n - 2)/(n - 1) * int sec^(n - 2) (x) d x

Passo 2

Agora vamos arrumar as coisas!

I = int sec^5 ( x ) d x = (sec^(5 - 2) ( x ) * t g ( x ))/(5 - 1) + (5 - 2)/(5 - 1) * int sec^(5 - 2) (x) d x

Fazendo as contas:

I = (sec^3 ( x ) * t g ( x ))/(4) + (3)/(4) * int sec^3 (x) d x

Agora queremos integrar s e c^3 ( x ) ! Expoente ímpar, então mesma ideia.

int sec^3 ( x ) d x = (sec^(3 - 2) ( x ) * t g ( x ))/(3 - 1) + (3 - 2)/(3 - 1) * int sec^(3 - 2) (x) d x

Fazendo as contas:

int sec^3 ( x ) d x = (sec ( x ) * t g ( x ))/(2) + (1)/(2) * int sec (x) d x

Não esquece: int sec (x) d x = l n | s e c (x) + t g ( x ) | + c

Logo,

int sec^3 ( x ) d x = (sec ( x ) * t g ( x ))/(2) + (1)/(2) * l n | s e c (x) + t g ( x ) | + c_1

Passo 3

Agora vamos finalizar!

I = (sec^3 ( x ) * t g ( x ))/(4) + (3)/(4) * int sec^3 (x) d x

Então nossa integral fica assim ó:

I = (sec^3 ( x ) * t g ( x ))/(4) + (3)/(4) * ((sec (x) * t g (x))/(2) + (1)/(2) * l n |s e c (x) + t g (x)| + c_1)

Fazendo as contas, temos:

I = (sec^3 ( x ) * t g ( x ))/(4) + (3 * sec (x) * t g (x))/(8) + (3)/(8) * l n |s e c (x) + t g (x)| + c

Resposta

(sec^3 ( x ) * t g ( x ))/(4) + (3 * sec (x) * t g (x))/(8) + (3)/(8) * l n |s e c (x) + t g (x)| + c

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