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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.10 - Ex. 1e

e) int t g (x) root(3)(sec (x)) d x

Passo 1

Oi, pessoal! Nós temos essa integralzinha para resolver! Ela parece complicada mas a gente consegue sair dela fazendo uma substituição simples.

I = int t g (x) * root(3)(sec (x)) d x

Só lembrar que a derivando secante temos,

(sec x)^' = sec (x) . t g ( x )

Vamos lá!

A estratégia nessa questão será fazer uma substituição de variável, vamos chamar u = s e c ( x ) pois ele é a parte mais complexa!

u = s e c ( x ) ( i )

Derivando,

d u = sec (x) * t g (x) d x -> t g (x) d x = (d u)/(u)

Passo 2

A estratégia nessa questão será fazer a seguinte substituição, vamos chamar

u = s e c ( x )

pois ele é a parte mais complexa! Derivando,

d u = sec (x) * t g (x) d x -> t g (x) d x = (d u)/(sec (x))

Mas lembrando da nossa substituição u = s e c ( x ) , podemos escrever

t g (x) d x = (d u)/(u)

Agora vamos arrumar a casa!

Nossa integral era o seguinte:

I = int t g (x) * root(3)(sec (x)) d x = int root(3)(sec (x)) * t g (x) d x

Indo para variável u :

I = int root(3)(u) (d u)/(u) = int (u^((1)/(3)))/(u) d u = int u^(- (2)/(3)) d u

Não esquece: int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + c quando n != - 1 e int (1)/(x) d x = ln |x| + c

Passo 3

Agora é só resolver as integrais!

I = int u^(- (2)/(3)) d u = (u^(- (2)/(3) + 1))/(- (2)/(3) + 1) + c

Fazendo as contas, temos:

I = 3 * u^((1)/(3)) + c = 3 * root(3)(u) + c

Voltando para variável s e c ( x ) :

I = 3 * root(3)(sec (x)) + c

Resposta

3 * root(3)(sec (x)) + c

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