1. Use a substituição para mostrar que

E confirme que isso é consistente com a Fórmula (22) da Seção 7.3.

2. Use o resultado de (a) para mostrar que

Reescrevendo nossa integral:

Fazendo as substituições:

Usando a fórmula 69, com :

E a gente está usando a substituição

Aí só para deixar igualzinho ao que ele pede, como estamos trabalhando com módulo:

Podemos então escrever que:

Como pedido.

Para mostrar que isso é igual a:

Vamos ter que usar umas identidades trigonométricas. Segura na minha mão e vamos juntos!

Primeiro a gente abre essas tangentes, faz o MMC e simplifica:

Vamos multiplicar em cima e embaixo por e lembrar dos produtos notáveis:

Agora a gente lembra de 3 identidades trigonométricas que vão nos ajudar:

Substituindo elas nas nossas continhas:

Voltando para o resultado da nossa integral:

Era onde a gente precisava chegar! Ufa!

(b) Vamos usar a identidade trigonométrica:

Para abrir o termo:

E a gente sabe que:

Então:

E isso é exatamente o que achamos em (a):

Então podemos dizer: