Calcule as integrais fazendo uma substituição apropriada.

∫ 0 π x sen ⁡ x 2 d x

Passo 1

Vamos calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

∫ x sen ⁡ x 2 d x

Passo 2

Para resolver essa integral vamos usar a Regra da Substituição:

u = x 2

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 2 x   d x → d u 2 = x d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ x sen ⁡ x 2 d x = ∫ sen ⁡ u 2 d u = 1 2 ∫ sen ⁡ u d u

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ sen ⁡ x d x = - cos ⁡ x + C

Aplicando:

1 2 ∫ sen ⁡ u d u = 1 2 - cos ⁡ u + C = - 1 2 cos ⁡ u + C

Passo 3

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ x sen ⁡ x 2 d x = - 1 2 cos ⁡ u + C = - 1 2 cos ⁡ x 2 + C

Passo 4

Pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Agora vamos voltar a integral:

∫ 0 π x sen ⁡ x 2 d x = - 1 2 cos ⁡ x 2 0 π = - 1 2 cos ⁡ π 2 - - 1 2 cos ⁡ 0 2 =

= - 1 2 cos ⁡ π - - 1 2 cos ⁡ 0 = - 1 2 ⋅ - 1 - - 1 2 ⋅ 1 = 1 2 + 1 2 = 1

Resposta

∫ 0 π x sen ⁡ x 2 d x = 1

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Calcule a integral fazendo a substituição fornecida. ∫ 2 t + 1 d t , u = 2 t + 1
Avalie a integral fazendo a substituição fornecida. ∫ cos ⁡ 2 x d x , u = 2 x
Avalie a integral fazendo a substituição fornecida. ∫ x 3 x 4 - 5 d x , u = x 4 - 5