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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.Exercícios Práticos - Ex. 98

Calcule a integral definida abaixo:

int_(- ln 2)^0 e^(2 w) d w

Passo 1

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

int_(- ln 2)^0 e^(2 w) d w

u = 2 w d u = 2 d w => (d u)/(2) = d w

Passo 2

Aplicando a substituição e retirando a constante do integrando temos:

int_(- ln 2)^0 e^(2 w) d w = int_(- ln 2)^0 e^u (d u)/(2) = (1)/(2) int_(- ln 2)^(0 ) e^u d u

Passo 3

Para efetuar esta integração utilizaremos a integração dada por:

int e^x d x = e^x + C

Assim:

(1)/(2) int_(- ln 2)^(0 ) e^u d u = (1)/(2) ( e^u ) (0)/(- ln 2)

Passo 4

Substituindo u pela função que atribuímos, temos:

(1)/(2) (e^u) (0)/(- ln 2) = (1)/(2) ( e^(2 w) ) (0)/(- ln 2)

Passo 5

Vamos agora substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

(1)/(2) (e^(2 w)) (0)/(- ln 2) = (1)/(2) ( e^0 - (e^(- 2 ln 2)) = (1)/(2) (1 - (1)/(4)) = (1)/(2) ((3)/(4)) = (3)/(8)

Resposta

(3)/(8)

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