Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 36
Use o Teorema 5.6.8 para determinar qual dos símbolos ou deve ser inserido onde indicado.
(Teorema dado no livro)
Passo 1
O Teorema citado na questão diz que se temos duas função e integráveis no intervalo , se tivermos para todo no intervalo, teremos então . O que queremos é então provar que uma das funções dadas é sempre maior que a outra no intervalo , para então aplicar o teorema.
Passo 2
Uma coisa muito útil de ser feita para compararmos duas funções é olhar para sua diferença. Subtraindo a segunda da primeira e chamando a função resultante de , temos:
Podemos deixar essa subtração mais fácil de ser analisada racionalizando. Multiplicamos em cima e em baixo pelo conjugado:
Agora que temos a expressão da diferença entre as funções, podemos compará-las.
Passo 3
O denominador é uma soma de raízes quadradas, então sempre é positivo quando existir. Precisamos então analisar o sinal do numerador no intervalo . A função zera para , e é negativa para valores maiores. Sendo assim, temos para e para . Como a diferença entre a primeira e a segunda é um número negativo ou zero, sabemos então que a primeira função é menor ou igual à segunda no intervalo dado. Logo, aplicando o teorema, a primeira integral será menor ou igual à segunda.