Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 37
Use o Teorema 5.6.8 para determinar qual dos símbolos ou deve ser inserido onde indicado.
(Teorema dado no livro)
Passo 1
O Teorema citado na questão diz que se temos duas função e integráveis no intervalo , se tivermos para todo no intervalo, teremos então . O que queremos é então provar que uma das funções dadas é sempre maior que a outra no intervalo , para então aplicar o teorema.
Passo 2
Uma coisa muito útil de ser feita para compararmos duas funções é olhar para sua diferença. Subtraindo a segunda da primeira e chamando a função resultante de , temos:
Usamos aqui a importantíssima identidade trigonométrica para achar . Agora que temos a expressão da diferença entre as funções, podemos compará-las.
Passo 3
Analisar a função no intervalo é mesmo que analisar a função no intervalo . Nesse intervalo temos (o intervalo está no lado direito do círculo trigonométrico), então teremos para o resultado . Como a diferença entre a primeira e a segunda funções é menor ou igual a zero, sabemos então que a primeira função é menor ou igual à segunda no intervalo dado. Logo, aplicando o teorema, a primeira integral será menor ou igual à segunda.