Use o Teorema 5.6.8 para determinar qual dos símbolos ou deve ser inserido onde indicado.

∫ - 1 3 2 x 2 - 4 d x   _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ∫ - 1 3 x 2 - 6 d x

(Teorema dado no livro)

Passo 1

O Teorema citado na questão diz que se temos duas função f x e g ( x ) integráveis no intervalo [ a , b ] , se tivermos f ( x ) ≥ g ( x ) para todo x no intervalo, teremos então ∫ a b f x d x ≥ ∫ a b g x d x . O que queremos é então provar que uma das funções dadas é sempre maior que a outra no intervalo [ - 1,3 ] , para então aplicar o teorema.

Passo 2

Uma coisa muito útil de ser feita para compararmos duas funções é olhar para sua diferença. Subtraindo a segunda da primeira, temos:

2 x 2 - 3 - x 2 - 6 = x 2 + 3

Como a diferença entre a primeira e a segunda é um número sempre positivo, sabemos então que a primeira função é sempre maior que a segunda. Logo, aplicando o teorema, a primeira integral será maior.

Resposta

∫ - 1 3 2 x 2 - 4 d x   ≥ ∫ - 1 3 x 2 - 6 d x

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Expresse o limite como integral definida. lim | | P | | → 0 ⁡ ∑ k = 1 n c k 2 Δ x k Onde P é uma partição de [ 0,2 ]