1. Use o Teorema do Valor Médio para mostrar que, se for diferenciável em um intervalo aberto, e se em cada do intervalo, então

Com quaisquer e do intervalo.

2. Use o resultado de (a) para mostrar que

Para quaisquer e no intervalo .

(c)Use o resultado de (b) para mostrar que

Com quaisquer valores de e no intervalo .

Considerando que e pertencem ao mesmo domínio , podemos escrever que para um valor que também pertence a , o teorema do valor médio pode ter essa carinha:

Jogando para o lado esquerdo:

Jogando o módulo dos dois lados:

Como , podemos escrever:

Que era o que precisávamos provar.

(b) A gente já provou que

E pelo enunciado, temos que . Mas quem é ?

é o valor mínimo que a derivada de pode atingir. Vamos achar esse valor. Calculando a derivada:

Essa função está sempre entre e vai ao infinito, por isso o valor mínimo que temos na derivada é . Logo, , e:

(c) Se considerarmos que há um valor , que pertence ao intervalo do enunciado, e substituímos ele na relação que achamos em (b):

Lembrando que para a tangente:

Assim:

Pronto! Conseguimos provar!