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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 5.10 - Ex. 3

Seja f x = - x 4 + 8 x 2 + 9 . Mostrar que f satisfaz as condições do Teorema de Rolle no intervalo [ - 3,3 ] e determinar os valores de c ∈ ( - 3,3 ) que satisfaçam f ' c = 0 .

Passo 1

Bom, pessoal, para que o Teorema de Rolle se aplique é necessário que três hipóteses sejam satisfeitas. Vamos verificar uma a uma:

  1. A função deve ser continua em um intervalo [ a , b ]

    2. A nossa função não pode ter buracos no intervalo requerido. Aqui, a função é contínua no intervalo - 3 , 3 , satisfazendo a primeira hipótese.

  2. A função deve ser diferenciável/derivável em [ a , b ]

    3. Vamos verificar se ela é verdadeira para a nossa f ( x ) ! Como nossa função é um polinômio, ela é derivável em qualquer intervalo, satisfazendo a segunda hipótese.

  3. Para o teorema ser usado, f a = f ( b )

Vamos aplicar os valores na função para ver se é válido.

f a = f - 3 = - - 3 4 + 8 - 3 2 + 9

f - 3 = - 81 + 72 + 9 = 0

f b = f 3 = - 3 4 + 8 3 2 + 9

f 3 = - 81 + 72 + 9 = 0

Deu certo! Como as três hipóteses foram atendidas, podemos aplicar o Teorema de Rolle.

Passo 2

Agora, vamos derivar a função e igualar ela a zero, trocando a incógnita x por c .

f ' x = - 4 x 3 + 16 x = 0

f ' c = - 4 c 3 + 16 c = 0

c 4 c 2 - 16 = 0

Essa expressão é igual a zero quando:

c = 0   o u   4 c 2 - 16 = 0

4 c 2 = 16

c 2 = 4 → c = ± 2

Resposta

Os valores de c são:

c = - 2

c = 0

c = 2

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Em cada um dos seguintes casos, verificar se o Teorema do Valor Médio se aplica. Em caso afirmativo, achar um número c em ( a , b ) , tal que f ' c = f b - f a b - a Interpretar geometricamente.(e) f