Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 11.3 - Ex. 5

Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.

Passo 1

Vamos lá pessoal, para mais uma questão de teste da integral. O teste da integral é um teste de consenso entre uma série e a integral imprópria. De modo que se a integral converge a série também convergirá. E se a integral diverge? Ora, então a série também diverge.Só é necessário antes certificar-se que a função associada à série seja decrescente, positiva e contínua.

Passo 2

Agora que ficou claro o que é o teste da integral vamos executar!!!

Nosso primeiro passo será sempre olhar o nosso termo geral da série e associá-lo a uma função . Nesse nosso caso, ficamos com:

Por isso nossa função associada é:

Ainda como parte do primeiro passo, é necessário avaliarmos se a nossa função é contínua, positiva e decrescente entre os limites da nossa série, que, nesse caso, se configura no domínio .

De maneira prática, é só olhar para o termo geral e ver se ele será sempre positivo (no nosso caso, é tranquilo de perceber isso pois não há nenhum termo que torna a equação negativa.) e se ele decresce à medida que aumenta. Além de verificar se afunção é contínua.Primeiramente temos que entender que haverá uma singularidade quando o denominador for zero. Então:

Porém esse valor está fora do nosso dominío pois estamos interessados apenas o que ocorre em .E podemos perceber facilmente que quando a função se aproxima de valor zero rapidamente. De forma que podemos afirmar que a série é decrescente.

Essa última parte é praticamente o Teste da Divergência, ou seja, se percebermos que

então não só não aplicaremos o Teste da Integral, como também já saberemos que a série é divergente.

Passo 3

E como que fazemos para calcular uma integral imprópria?Calcularemos o limite da integral para um intervalo definido em que um desses extremos tende a infinito.