Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.3 - Ex. 13
Determine se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Heyy! Essa questão ta bem parecida com a anterior, né? Será que o resultado vai ser o mesmo? Precisamos determinar se a série abaixo é convergente ou divergente, certo?
Para isso, primeiro precisamos encontrar o termo geral dessa série pra facilitar nossa vida! Daí depois podemos analisar se ela diverge ou converge.
Vamos então analisar os termos da série quanto: sinais, numeradores e denominadores.
Olhando então para a nossa sequência, podemos observar:
- Todos os termos são positivos, então não precisamos nos preocupar com os sinais.
- O numerador dos termos é sempre 1.
- No denominador, podemos observar que cada termo são sempre números ímpares. Começamos com e aumentamos de em . Portanto, podemos representar o denominador como uma sequência, onde é o índice do termo na sequência.
Juntando tudo, temos que o termo geral da nossa série é
Beleza?!
Passo 2
Agora que encontramos o termo geral na nossa série, para determinar se ela diverge ou converge nós podemos fazer uso do Teste da Integral.
Vamos relembrar o que ela diz??
Vamos supor que a nossa função é contínua, positiva, decrescente no intervalo e que . Então, a série é convergente se e somente se a integral imprópria for convergente. Em outras palavras, podemos dizer:
- Se for convergente, então é convergente;
- Se for divergente, então é divergente.
Agora que relembramos um pouquinho a teoria, que tal verificarmos se essa série é convergente ou divergente? Primeiro de tudo, vamos olhar para a função:
Essa função é contínua, positiva e decrescente no intervalo , não é? Logo, podemos usa o teste da Integral para definir a convergência! Vamos escrever a integral imprópria:
Passo 3
A integral que temos para resolver é diferente das outras integrais definidas que resolvemos usando o teorema fundamental do cálculo. Ela tem um infinito em um dos limites de integração! Como que lidamos com isso??? Sempre que tivermos uma descontinuidade nos limites de integração, nós podemos escrever a integral da seguinte forma:
Sabendo disso, vamos reescrever a integral do nosso problema!
Passo 4
Temos então a integral do nosso problema:
Resolvendo a integral temos:
Aqui, aplicamos a primitiva da função , que é, e avaliamos nos limites de integração de até . Continuando as contas, temos que
Como a integral é divergente, então, pelo Teste da Integral, a série é divergente!
Resposta
A série é divergente!