Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 11.2 - Ex. 28

Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma.

Passo 1

Pelas propriedades das séries, podemos separar essa série em duas

Isso vale se pelo menos uma das séries seja convergente, no caso de uma série convergir e a outra não, podemos dizer que a soma das duas diverge, mas se as duas divergirem, não podemos tirar conclusões.

No caso destas duas, ambas parecem muito com uma série geométrica, basta que manipulemos um pouco, então vai ser fácil provar a convergência de ambas.

Passo 2

Para a primeira série

Para que ela seja geométrica, ela precisa estar no formato

Mas a nossa série parece muito uma série geométrica com e , mas sem o primeiro termo, então vamos falar que ela é uma geométrica e vamos subtrair este termo. No caso das séries geométricas, o primeiro termo é sempre igual a .

Agora a série geométrica nós sabemos o valor, como , ela converge, então

Na nossa série

Passo 3

Para a segunda série

Utilizando a mesma ideia da outra série, podemos dizer que

Como diminuímos um valor no índice da série é como se estivéssemos começando a somar um valor antes que o que deveríamos, por isso o aparece, para cancelar esse primeiro termo que quando substituímos na série o termo vale .