Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.3 - Ex. 6
Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Fala Aí!! Tudo tranquilo?? Essa questão nos pede para determinarmos se a série
É convergente ou divergente usando o Teste da Integral, certo? Aqui o uso do Teste da Integral é apropriada porque a função é uma função decrescente e positiva para.
Então vamos relembrar o que o Teste da Integral nos diz?
Vamos supor que a nossa função é contínua, positiva, decrescente no intervalo e que . Então, a série é convergente se e somente se a integral imprópria for convergente. Em outras palavras, podemos dizer:
- Se for convergente, então é convergente;
- Se for divergente, então é divergente.
Beleza?!
Passo 2
Agora que relembramos um pouquinho a teoria, que tal verificarmos se essa série é convergente ou divergente? Primeiro de tudo, vamos olhar para a função:
Essa função é contínua, positiva e decrescente no intervalo , não é? Logo, podemos usa o teste da Integral para definir a convergência! Vamos escrever a integral imprópria:
Passo 3
A integral que temos para resolver é diferente das outras integrais definidas que resolvemos usando o teorema fundamental do cálculo. Ela tem um infinito em um dos limites de integração! Como que lidamos com isso??? Sempre que tivermos uma descontinuidade nos limites de integração, nós podemos escrever a integral da seguinte forma:
Sabendo disso, vamos reescrever a integral do nosso problema!
Passo 4
Resolvendo a integral temos:
Para resolver essa integral, vamos usar o método da substituição das variáveis. Seja
Assim:
Calculando a integral, temos
Agora voltando para a variável original, ficamos com:
Substituíndo os limites de integração, temos:
E assim chegamos ao resultado:
Como a integral é convergente, então, pelo Teste da Integral, a série é convergente!
Resposta
A série é convergente!