Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.3 - Ex. 18
Determine se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
E aí, galera? Tudo certo?
Bem, aqui temos que definir se nossa sequência converge ou diverge.
Nessa questão, nós podemos fazer uso do Teste da Integral. Vocês sabem o que é? Ele é bem prático e simples! Vamos supor que a nossa função é contínua, positiva, decrescente no intervalo e que . Então, a série é convergente se e somente se a integral imprópria for convergente. Em outras palavras, podemos dizer:
- Se for convergente, então é convergente;
- Se for divergente, então é divergente.
Agora que relembramos um pouquinho a teoria, que tal verificarmos se podemos aplicar o Teste da Integral nessa série? Primeiro de tudo, vamos olhar para a função:
Essa função é contínua, positiva e decrescente no intervalo , não é? Logo, podemos usar o teste da Integral para definir a convergência! Vamos escrever a integral imprópria:
Usaremos o Teste da Integral nessa função pois este teste é bem útil para séries em que os termos são positivos e decrescentes.
Relembrando um pouco da Integral Imprópria: quando temos uma integral imprópria, que é o nosso caso, para resolvermos temos que aplicar o seguinte limite:
Ou seja, vamos precisar resolver nossa integral (pelo método da substituição) e depois aplicar o limite no resultado dessa integral.
Passo 2
A integral que temos para resolver é diferente das outras integrais definidas que resolvemos usando o teorema fundamental do cálculo. Ela tem um infinito em um dos limites de integração!
Sabendo disso, vamos reescrever a integral do nosso problema!
Passo 3
Resolvendo a integral imprópria, temos:
Agora podemos rearranjar nosso denominador para tentarmos diminuir os termos, simplificar, podemos usar a propriedade :
Vamos aqui resolver essa integral usando o método de substitui��ão de variável! Seja:
Assim,
Resolvendo a integral, temos:
Voltando para a variável original, temos:
Agora aplicando os limites de integração:
Calculando os limites:
Quando usamos , estamos imaginando um valor muito grande para a tangente. Nesse caso, a tangente se torna tão grande que o ângulo correspondente se aproxima de 90 graus (ou radianos, que é a medida em radianos para 90 graus). é uma constante.
Agora que já achamos o valor do limite, voltamos a nossa integral imprópria inicial que estávamos procurando:
Como a integral é convergente, então, pelo Teste da Integral, a série é convergente!
Resposta
A série é convergente!