Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.3 - Ex. 20
9-26. Determine se a série é convergente ou divergente.
20.
Passo 1
Para determinarmos se essa série converge ou diverge teremos que utilizar o Teste da Integral, tudo bem? Temos que . Para essa função temos que aplicar a integral em um intervalo em que a função seja contínua, positiva e decrescente. No nosso caso isso ocorre em . Dessa forma, nossa integral será:
Caso não se lembre, quando temos uma integral imprópria, que é o nosso caso, para resolvermos temos que aplicar o seguinte limite:
E aí se a integral convergir, então a série também converge. Caso contrário, a série diverge. Então bora lá!
Passo 2
Antes de resolvermos essa integral, vamos tentar reescrever essa função de outra forma, tudo bem? Por que fazer isso? É que da maneira que está a integração se tornará complicada e a ideia aqui é simplificar SEMPRE! Sendo assim, temos:
Note que somamos ao mesmo tempo que subtraímos , então o resultado não se altera. Isso aqui se chama completar quadrados, beleza? Continuando, teremos:
Substituindo esse resultado na nossa integral:
E essa aqui é uma integral bem conhecida, galera! Seu resultado de forma genérica é:
No nosso caso e , logo:
Passo 3
Agora que descobrimos o resultado da integral, só nos resta aplicar o limite, não é mesmo? Dessa forma:
Para que ângulo a tangente vale ? Sim, é o ângulo ! Substituindo o resultado, teremos:
Sendo assim, a conclusão é de que a a série converge.