Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.3 - Ex. 5
Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
5-
Passo 1
Falaaa... tudo bem?? Nessa questão vamos usar o Teste da Integral pra determinar se a série:
É convergente ou divergente.
Pra usar o teste da integral, primeiro trocamos o por e colocamos numa integral:
Os limites de integração são os limites do somatório:
Como temos “infinito” no limite de integração, então chamamos de integral imprópria. E pra resolver uma integral imprópria chamamos o infinito de alguma variável e calculamos o limite:
Que aí o resultado da integral vai ser uma função e , daí depois calcula o limite pra quando vai pra infinito.
Se esse limite existir, então a integral é convergente e a série também é convergente.
Passo 2
Resolvendo a integral por substituição:
Para os limites de integração:
Logo:
Aplicando o intervalo teremos:
Agora só falta calcular o limite desse resultado da integral pra quando tende a infinito:
Como o limite deu infinito, ou seja, ele não existe, então a integral é divergente e, consequentemente, a série é divergente.
Resposta
Série divergente.