Use o Teste da Raiz para determinar se a série é convergente ou divergente.

25. ∑ n = 1 ∞ n 2 + 1 2 n 2 + 1 n

Passo 1

O teste da raiz é o seguinte:

lim n → ∞ ⁡ a n n = L

Se L > 1 a série é divergente, e se L < 1 a série é convergente.

Aplicando na nossa série, ficamos com:

L = lim n → ∞ ⁡ n 2 + 1 2 n 2 + 1 n n

Se tirarmos do módulo, a sequência continua do mesmo jeito, pois todos os termos são positivos:

L = lim n → ∞ ⁡ n 2 + 1 2 n 2 + 1 n n

Cortando a raiz com a potencia n :

L = l i m n → ∞ n 2 + 1 2 n 2 + 1

Passo 2

Se aplicar o limite agora, teremos uma indeterminação, vamos então pôr o n 2 em evidencia no denominador e no numerador:

L = l i m n → ∞ n 2 1 + 1 n 2 n 2 2 + 1 n 2

Simplificando:

L = l i m n → ∞ 1 + 1 n 2 2 + 1 n 2

Passo 3

Agora sim podemos aplicar o limite, os termos 1 / n 2 tendem a zero, sobrando só:

L = 1 2

Como L < 1 , a série é convergente.

Resposta

C o n v e r g e n t e

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