Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.6 - Ex. 12
Use o Teste da Razão para determinar se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Alô, pessoal! Suave?
Precisamos determinar se:
É uma série que converge ou diverge. Temos alguns métodos para fazer isso, mas o enunciado já nos ajuda nos indicando qual método devemos usar: o Teste da Razão que, caso não se lembre, funciona assim. Calculamos o limite:
Se , a série irá divergir, e no caso de a série vai convergir, em resumo.
Bom, então só nos resta acharmos o valor desse limite. Bora lá!
Passo 2
Para nossa série temos:
E para encontrar é só substituirmos nosso por :
Como a sequência da nossa serie é , o teste da razão fica:
Abrindo o termo de cima usando a propriedade da potenciação , teremos:
Simplificando :
Tirando o módulo e colocando o no denominador:
Passo 3
Agora basta resolvermos o limite, para isso, vamos começar substituindo o valor:
Opa, chegamos em uma indeterminação do tipo , podemos resolve-la aplicando L’hospital.
Obs. Duas ressalvas sobre a Regra de L’hospital.
- Ela só serve para 2 tipos de indeterminação: e .
- Ela serve para funções contínuas, então vamos escrever nossa sequência em termos de , depois a gente volta para a sequência original.
Dito isso, fazemos:
Derivando em cima e em baixo com relação a :
Agora voltando para nossa sequência e calculando o limite:
Portanto, esse limite tende a:
E como o número de Euler é , teremos:
Então , e podemos dizer que a série é convergente.