Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.6 - Ex. 31

Os termos de uma série são definidos recursivamente pelas equações:

Determine de converge ou diverge.

Passo 1

Oi, pessoal! Suavidade?

Vamos determinar se a série converge ou diverge. Para isso vamos usar o Teste da Razão.

Vamos relembrar o Teste da Razão: calculamos o limite:

Se:

a série é absolutamente convergente (e, portanto, convergente).
a série é divergente
o teste é inconclusivo.

Você pode ter notado que temos expressão para mas não temos expressão para , né? Mas nota que nosso limite ali do teste da razão, ele tem no denominador, assim esse termo vai ser cancelado.

Vamos pra resolução!

Passo 2

Aqui para a nossa série vamos ter:

Agora podemos cancelar o termo e retirar o módulo, já que só teremos valores positivos para nossa fração:

Calculando:

Dividindo o numerador e o denominador por para simplificar a fração, teremos:

Pelo fato de , temos que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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Quais das séries ∑ n = 1 ∞ a n definidas pelas fórmulas nos Exercícios 45-54 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas. a 1 = 1 ,a n + 1 = 1 + t g - 1n n ( a n )

Quais das séries ∑ n = 1 ∞ a n definidas pelas fórmulas nos Exercícios 45-54 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas. a 1 = 1 2 ,a n + 1 = ( a n ) n + 1

Quais das séries ∑ n = 1 ∞ a n definidas pelas fórmulas nos Exercícios 45-54 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas. a 1 = 2 ,a n + 1 = 2 n ( a n )

Nos Exercícios 17-44, utilize qualquer método para determinar se a série converge ou diverge. Justifique suas respostas. ∑ n = 1 ∞ n 2 e - n

Nos Exercícios 17-44, utilize qualquer método para determinar se a série converge ou diverge. Justifique suas respostas. ∑ n = 1 ∞ 2 + ( - 1 ) n 1,25 n