Mostre que a série é convergente. Quantos termos da série precisamos somar para encontrar a soma parcial com a precisão indicada?

Primeiramente, vamos mostrar que a série é convergente.

Para isso, utilizaremos o Teste da Série Alternada. Neste teste, a série deve satisfazer as seguintes condições:

Vamos iniciar pela condição :

Onde o denominador .

Como o denominador em é maior que em e o valor do numerador é igual para ambos, o valor de será menor que o de . Logo, satisfaz a condição.

Em seguida, vamos verificar a condição :

Podemos ver que o denominador tenderá para quando . O valor de 1 dividido por um número muito grande como tenderá à zero. Logo, temos que

Portanto, a segunda condição também é satisfeita.

Como as duas condições foram satisfeitas, nossa série é convergente!!

Neste passo, vamos determinar o número de termosque precisamos somar para encontrar a soma parcial com a precisão de .

Para isso, vamos utilizar o Teorema da Estimativa de Séries Alternadas. Este teorema nos diz que, se uma série for uma série alternada que satisfaz as condições e , o erro envolvido será o resto definido por

O enunciado nos deu o valor do erro, logo temos que

Para descobrir o número de termos, temos que encontrar o valor em que se torna maior que .

Temos que, para , é igual a:

Vemos que a partir de o valor será menor que o erro definido pelo enunciado.

Logo, temos que o número de termos somados para atender o pedido da questão será de