Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.5 - Ex. 12
Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Passo 1
OPA!!! Vamos lá meu caro amigo, uma série nos foi dada, e é esperado que seja investigado se essa série diverge ou não.
Repare comigo que essa série possui um elemento que a torna uma série alternada:
O que isso significa? Que temos uma série do tipo alternada e, portanto, podemos utilizar o teste de séries alternadas. Você se lembra o que diz esse teste? Vou te ajudar, o teste diz o seguinte:
Se eu “criar” uma série associada à série alternada que quero investigar, de modo que minha série seja apenas os valores absolutos dos termos da série alternada, eu posso descobrir a convergência da série alternada ao analisar alguns critérios da série recém-criada. Veja:
Se a série alternada é . Então a série criada é , se for decrescente e tiver seu limite quando n. Então ambas as séries são convergente. Vamos ver na prática?
Passo 2
Vamos olhar a nossa questão! Temos a seguinte série:
Para “criar” vamos utilizar apenas os valores absolutos da série .
Temos que:
Vamos verificar se as condições mencionadas acima são atendidas.
Podemos testar a região em que essa série é crescente pela derivada, encontrando os pontos de máximos e mínimos e depois calculando qual o valor de cada pico.
Como estamos considerando valores de positivos, vemos que quando , ou seja, é decrescente no intervalor .
Vamos agora ver como fica o limite!
Temos aqui uma indeterminação! Para resolver esse impasse, vamos aplicar a regra de L’Hospital! Assim,
Logo, a segunda condição também foi satisfeita. Assim, como as condições atendidas, podemos dizer que a série converge!
Resposta
A série converge!