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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.4 - Ex. 3b

Utilizando o exercício 2, estude a convergência ou a divergência de cada uma das integrais a seguir.

∫ 10 ∞ x 5 - 3 x 20 + x 10 - 1   d x

Passo 1

A questão pede para verificarmos se a integral imprópria converge ou diverge usando o resultado do exercício 2. Este resultado basicamente diz que se quisermos estudar a convergência de uma integral do tipo

∫ a ∞ f x   d x

em que f pode ser escrita como

f x = 1 x α   g x ,

com

lim x → ∞ ⁡ g x = L > 0 ,

segue que se α > 1 , a integral de f converge. Caso contrário, ela diverge. Esse critério é bem prático pois fugimos de qualquer comparação ou integral: basta fazer um limite!

Neste caso, temos

f x = x 5 - 3 x 20 + x 10 - 1 = x 5 x 10 ⋅ 1 - 3 x 5 1 + 1 x 10 - 1 x 20 = 1 x 5 ⋅ 1 - 3 x 5 1 + 1 x 10 - 1 x 20

Passo 2

Assim, vemos que α = 5 e

g x = 1 - 3 x 5 1 + 1 x 10 - 1 x 20

Note que

lim x → ∞ ⁡ g ( x ) = 1 - 0 1 + 0 - 0 = 1 > 0

Portanto, todas as condições do exercício 2 estão sendo satisfeitas. Como α = 5 > 1 , a integral converge.

Resposta

Converge.

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Calcule as integrais que convirjam. ∫ - 1 + ∞ x 1 + x 2 d x
Calcule as integrais que convirjam. ∫ - ∞ 0 d x 2 x - 1 3
Em cada parte, determine se a integral é imprópria e, se for, explique por quê. ∫ - ∞ + ∞ d x x - 1 3
Calcule as integrais que convirjam. ∫ 3 + ∞ 2 x 2 - 1 d x
Calcule as integrais que convirjam. ∫ 0 + ∞ e - 2 x d x