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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.4 - Ex. 1c

É convergente ou divergente? Justifique.

int_2^(oo) (1)/(root(3)(x^4 + 2 x + 1)) d x

Passo 1

Devemos verificar se essa integral imprópria diverge ou converge. Neste caso, achar uma primitiva é bem complicado, de modo que vamos recorrer aos critérios de comparação!

Note que, para x >= 2 :

x^4 + 2 x + 1 >= x^4

Assim,

root(3)(x^4 + 2 x + 1) >= x^((4)/(3))

Ou ainda,

(1)/(root(3)(x^4 + 2 x + 1)) <= (1)/(x^((4)/(3)))

Passo 2

Pelo teorema da página 70, temos que integrais do tipo

int_a^(oo) (1)/(x^(alpha)) d x

sempre convergem se alpha > 1 . Neste caso, temos alpha = 4 // 3 , de modo que a integral

int_2^(oo) (1)/(x^(4 // 3)) d x

é convergente.

Passo 3

Por fim, como temos que

(1)/(root(3)(x^4 + 2 x + 1)) <= (1)/(x^((4)/(3)))

E a integral

int_2^(oo) (1)/(x^(4 // 3)) d x

converge, segue pelo critério da comparação que a integral

int_2^(oo) (1)/(root(3)(x^4 + 2 x + 1)) d x

também será convergente!

Resposta

Converge.

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Esboce o gráfico da função F dada porc) F (x) = int_1^x f (t) d t ondef (t) = {[[2 s e t = 0],[0 s e t0]])
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule a convergente ∫ 0 91 x - 1 3d x
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule a convergente ∫ 0 5 w w - 2 d w
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Avalie aquelas que são convergentes. ∫ 0 3 1 x d x
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Avalie aquelas que são convergentes. ∫ - 1 0 1 x 2 d x