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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.Exercícios Adicionais e Avançados - Ex. 02

Utilize a formula da área do teorema de Green no Exercicio abaixo para encontrar a áreas da região delimitada pela curva .

Passo 1

Faaaaalaaa meus abençoados, tudo blz?

Sabendo que,

O deltoide x = 2 cos ⁡ t + cos ⁡ 2 t ,     y = 2 sin ⁡ t - sin ⁡ 2 t   ,     0 ≤ t ≤ 2 π , temos que derivando as funções iremos ter:

d x = - 2 sin ⁡ t - 2 sin ⁡ 2 t d t

d y = 2 cos ⁡ t - 2 cos ⁡ 2 t d t

Sendo a formula da área pelo teorema de green sendo : 1 2   ∮ C x d y - y d x

1 2   ∫ 0 2 π [ ( 2 cos ⁡ t + cos ⁡ 2 t   ) 2 cos ⁡ t   - 2 cos ⁡ 2 t - ( 2 sin ⁡ t - sin ⁡ 2 t ) ( - 2 sin ⁡ t - 2 sin ⁡ 2 t ) ] d t  

= 1 2   ∫ 0 2 π [ 2 - 2 ( cos ⁡ t cos ⁡ 2 t - sin ⁡ t sin ⁡ 2 t ) ] d t

= 1 2   ∫ 0 2 π ( 2 - 2 cos ⁡ 3 t   ) d t = 1 2 2 t - 2 3 sin ⁡ 3 t 0 2 π = 2 π

Resposta

2 π

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