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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.Exercícios Adicionais e Avançados - Ex. 04

Utilize a formula da área do teorema de Green no Exercicio abaixo para encontrar a áreas da região delimitada pela curva .

Passo 1

Faaaaalaaa meus abençoados, tudo blz?

Sabendo que,

A “lagrima” x = 2 a cos ⁡ t - a sin ⁡ 2 t ,     y = b  sin ⁡ t ,     0 ≤ t ≤ 2 π , temos que derivando as funções iremos ter:

d x = - 2 a sin ⁡ t - 2 a cos ⁡ 2 t d t

d y = ( b cos ⁡ t ) d t

Sendo a formula da área pelo teorema de green sendo : 1 2   ∮ C x d y - y d x

1 2   ∫ 0 2 π [ ( 2 a b   cos 2 ⁡ t - a b cos ⁡ t sin ⁡ 2 t ) - ( - 2 a b sin 2 ⁡ t - 2 a b sin ⁡ t cos ⁡ 2 t ) ] d t

1 2   ∫ 0 2 π [ 2 a b - 2 a b cos 2 ⁡ t sin ⁡ t + 2 a b ( sin ⁡ t ) ( 2 cos 2 ⁡ t - 1 ) ] d t

1 2 ∫ 0 2 π ( 2 a b + 2 a b   cos 2 ⁡ t sin ⁡ t - 2 a b sin ⁡ t ) d t

1 2 2 a b t - 2 3 a b cos 3 ⁡ t + 2 a b cos ⁡ t 0 2 π = 2 π a b

Resposta

2 π a b

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