Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.Exercícios Adicionais e Avançados - Ex. 01

Utilize a formula da área do teorema de Green no Exercicio abaixo para encontrar a áreas da região delimitada pela curva .

Passo 1

Faaaaalaaa meus abençoados, tudo blz?

Sabendo que,

O limaçon x = 2 cos ⁡ t - cos ⁡ 2 t ,     y = 2 sin ⁡ t - sin ⁡ 2 t   ,     0 ≤ t ≤ 2 π , temos que derivando as funções iremos ter:

d x = - 2 sin ⁡ t + 2 sin ⁡ 2 t d t

d y = 2 cos ⁡ t - 2 cos ⁡ 2 t d t

Sendo a formula da área pelo teorema de green sendo : 1 2   ∮ C x d y - y d x

1 2   ∫ 0 2 π [ ( 2 cos ⁡ t - cos ⁡ 2 t   ) 2 cos ⁡ t   - 2 cos ⁡ 2 t - ( 2 sin ⁡ t - sin ⁡ 2 t ) ( - 2 sin ⁡ t + 2 sin ⁡ 2 t ) ] d t  

= 1 2   ∫ 0 2 π [ 6 - ( 6 cos ⁡ t cos ⁡ 2 t + 6 sin ⁡ t sin ⁡ 2 t ) ] d t

= 1 2   ∫ 0 2 π ( 6 - 6 cos ⁡ t   ) d t = 6 π

Resposta

6 π

Exercícios de Livros Relacionados

a) Mostre que a área de uma região fechada e limitada D do plano x y pode ser obtida através da seguinte integral de linha á r e aD = ∮ ∂ D xd y á
Seja F x , y = - y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2 + 3 x um campo vetorial em R 2 . Calcule a integral de linha do campo F ao longo das curvas C 1 e C 2 , orientadas no sentido anti-horário, onde: C 1 é a cir
Seja F = F 1 , F 2 um campo vetorial de classe C 1 no R 2 exceto em 0,0 , tal que ∂ F 2 ∂ x x , y = ∂ F 1 ∂ y x , y + 4 para todo x , y ≠ 0,0 . Sabendo que ∮ γ F 1d x + F 2d y = 6 π , onde γ é a circu
Seja F x , y = - y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2 + 3 x um campo vetorial em R 2 . Calcule a integral de linha do campo F ao longo das curvas C 1 e C 2 , orientadas no sentido anti-horário, onde: C 1 é a cir
b) Use a) para calcular a área da região limitada pelo eixo y , pelas retas y = 1 ,y = 3 e pela curva x = y 2 .