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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.Exercícios Adicionais e Avançados - Ex. 03

Utilize a formula da área do teorema de Green no Exercicio abaixo para encontrar a áreas da região delimitada pela curva .

Passo 1

Faaaaalaaa meus abençoados, tudo blz?

Sabendo que,

A curva em oito x = 1 2 sin ⁡ 2 t ,     y = sin ⁡ t ,     0 ≤ t ≤ π , (um laço) temos que derivando as funções iremos ter:

d x = cos ⁡ 2 t d t

d y = cos  ⁡ t d t

Sendo a formula da área pelo teorema de green sendo : 1 2   ∮ C x d y - y d x

1 2   ∫ 0 π ( 1 2 sin ⁡ 2 t cos ⁡ t   - sin ⁡ t cos ⁡ 2 t ) d t

1 2   ∫ 0 π [ sin ⁡ t cos 2 ⁡ t - ( sin ⁡ t ) ( 2 cos 2 ⁡ t - 1 ) ] d t

1 2 ∫ 0 π ( - sin ⁡ t cos 2 ⁡ t + sin ⁡ t ) d t = 1 2 1 3 cos 3 ⁡ t - cos ⁡ t 0 π = - 1 3 + 1 = 2 3

Resposta

2 3

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Calcule as seguintes integrais, ao longo das curvas C , orientadas positivamente.e. ∮ C 2 x y - x 2 d x + x - y 2 d y C é a fronteira da região limitada por y = x 2 y 2 = x
Calcule as seguintes integrais, ao longo das curvas C , orientadas positivamente.d. ∮ C x - 1 e y d x + e y ln ⁡ x + 2 x d y C é a região limitada por x = y 4 + 1 x = 2
Calcule as seguintes integrais, ao longo das curvas C , orientadas positivamente.f. ∮ C x + y d x + y - x d y C é a circunferência x 2 + y 2 - 2 a x = 0
Calcule as seguintes integrais, ao longo das curvas C , orientadas positivamente.h. ∮ C 2 x - y d x + x + 3 y d y C é a fronteira do pentágono de vértices 0,0 , 0,2 , 1,3 , 2,2 , 2,0
Calcule as seguintes integrais, ao longo das curvas C , orientadas positivamente.g. ∮ C 2 x - y 3 d x + - x y d y C é a fronteira da região limitada pelas curvas x 2 + y 2 = 4 x 2 + y 2 = 9