Utilize a formula da área do teorema de Green no Exercicio abaixo para encontrar a áreas da região delimitada pela curva .

Passo 1

Faaaaalaaa meus abençoados, tudo blz?

Sabendo que,

A curva em oito x = 1 2 sin ⁡ 2 t ,     y = sin ⁡ t ,     0 ≤ t ≤ π , (um laço) temos que derivando as funções iremos ter:

d x = cos ⁡ 2 t d t

d y = cos  ⁡ t d t

Sendo a formula da área pelo teorema de green sendo : 1 2   ∮ C x d y - y d x

1 2   ∫ 0 π ( 1 2 sin ⁡ 2 t cos ⁡ t   - sin ⁡ t cos ⁡ 2 t ) d t

1 2   ∫ 0 π [ sin ⁡ t cos 2 ⁡ t - ( sin ⁡ t ) ( 2 cos 2 ⁡ t - 1 ) ] d t

1 2 ∫ 0 π ( - sin ⁡ t cos 2 ⁡ t + sin ⁡ t ) d t = 1 2 1 3 cos 3 ⁡ t - cos ⁡ t 0 π = - 1 3 + 1 = 2 3

Resposta

2 3

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule as seguintes integrais, ao longo das curvas C , orientadas positivamente.e.∮_C (2xy - x²) dx + (x - y²) dy C é a fronteira da região limitada por y = x^2 y² = x
Calcule as seguintes integrais, ao longo das curvas C , orientadas positivamente.d.∮_C (x^(-1) * e^y) dx + (e^y * ln(x) + 2x) dy C é a região limitada por x = y^4 + 1 x = 2
Calcule as seguintes integrais, ao longo das curvas C , orientadas positivamente.f.∮C (x + y) dx + (y - x) dy C é a circunferência x^2 + y^2 - 2ax = 0
Calcule as seguintes integrais, ao longo das curvas C , orientadas positivamente.h.∮_C (2x - y) dx + (x + 3y) dy C é a fronteira do pentágono de vértices (0,0), (0,2), (1,3), (2,2), (2,0)
Calcule as seguintes integrais, ao longo das curvas C , orientadas positivamente.g.∮_C (2x - y^3) dx + (-xy) dy C é a fronteira da região limitada pelas curvas x^2 + y^2 = 4 x^2 + y^2 = 9