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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.4 - Ex. 1

Nos Exercícios 1-4, verifique a conclusão do teorema de Green calculando ambos os lados das Equações 3 e 4 para o campo F = M i + N j . Tome os domínios de integração em cada caso como sendo o disco R : x 2 + y 2 ≤ a 2 e sua circunferência de fronteira C : r = ( a c o s ⁡ t ) i + ( a s e n ⁡ t ) j , 0 ≤ t ≤ 2 π .

F = - y i + x j

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Devemos verificar o teorema de Green calculando ambos os lados da equação 3 , conforme a página 397 e da equação 4 conforme a página 398 , para o campo F → = M i → + N j → Tomando os domínios de integração como sendo o disco R : x 2 + y 2 ≤ a 2 e sua circunferência de fronteira C : r → = ( a c o s ⁡ t ) i → + ( asent ) j → ,   0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 2

Observe! Sendo F → = - y i → + x j → Calculando F → ( r → ( t ) ) e diferenciando os componentes, temos: M = - y = - asent e o diferencial d x = d ( a c o s ⁡ t ) = - asentdt N = x = a c o s ⁡ t e o diferencial d y = d ( asent ) = a c o s ⁡ t d t ∂ M ∂ x = 0 , ∂ M ∂ y = - 1 ∂ N ∂ x = 1 , ∂ N ∂ y = 0

Passo 3

Dessa forma, os dois lados da equação 3 são:

∮     C M d y - N d x = ∫ 0 2 π     [ ( - a s e n ⁡ t ) ( a c o s ⁡ t ) - ( a c o s ⁡ t ) ( - a s e n ⁡ t ) ] d t = ∫ 0 2 π     0 d t = 0   ∬ R     ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y d x d y = ∬ R     ( 0 + ( 0 ) ) d x d y = 0

Passo 4

Dessa forma, os dois lados da equação 4 são:

∮     C M d x + N d y = ∫ t = 0 t = 2 π     [ ( - a s e n ⁡ t ) ( - a s e n ⁡ t ) - ( a c o s ⁡ t ) ( a c o s ⁡ t ) ] d t = ∫ 0 2 π     a 2 d t = 2 π a 2   ∬ R     ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x d y = ∬ R     ( 1 - ( - 1 ) ) d y d x = ∫ - a a     ∫ - c a 2 - x 2     2 d y d x = ∫ - a a     4 a 2 - x 2 d x =   = 4 x 2 a 2 - x 2 + a 2 2 s e n - 1 ⁡ x a a - a = 2 a 2 π 2 + π 2 = 2 a 2 π

Resposta

Resposta nos passos.

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