Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência.

∫ 0 1 d t t - s e n   t  

Passo 1

Vamos resolver essa pelo método da comparação do limite.

O método diz que se temos duas funções f ( x ) e g ( x ) e o limite da função f x g ( x ) for um número finito, então as funções f ( x ) e g ( x ) se comportam da mesma maneira, ou seja, ambas convergem ou ambas divergem.

Parece complicado, mas na prática é bem simples. Veja só...

Passo 2

Seja f t =   1 t - s e n   t   (a função da integral) e g t = 1 t 3 . Então, iremos calcular:

lim t → 0 ⁡ f t g t = l i m t → 0   t 3 t - s e n   t

Podemos aplicar a regra de L’Hôpital até sairmos da indeterminação...

l i m t → 0 3 t 2 1 - cos ⁡ t =   l i m t → 0 6 t s e n   t =   l i m t → 0   6 cos ⁡ t = 6

Como o limite deu finito, as duas funções se comportam da mesma maneira.

Passo 3

Vejamos a função g x :

∫ 0 1 1 t 3   d t =   - 1 2 t 2 ] 1 0    

Vamos aplicar o limite:

lim b → 0 ⁡ - 1 2 t 2 ] 1 b =   - 1 2 - - ∞ = ∞

Então, g x diverge. Logo f ( x ) também diverge.

Resposta

∫ 0 1 d t t - s e n   t   diverge.

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