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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.5 - Ex. 86c

Dado que x > 0, determine o valor máximo, se houver, de

c. x 1 x n

Passo 1

Para calcular o valor máximo, iremos fazer a derivada da função igual a zero.

Mas primeiro iremos usar a regra

a b = e b   l n   a

Então temos:

x 1 x n = e 1 x n   l n   x

Passo 2

Agora a gente deriva:

d d x e   1 x n   l n   x = 0

Passo 3

Para derivar a exponencial é necessário derivar apenas seu expoente:

d d x e   1 x n   l n   x = e   1 x n   l n   x d d x 1 x n   l n   x = 0

e   1 x n   l n   x 1 x n ' ⋅   l n   x + 1 x n l n   x ' = 0

e   1 x n   l n   x - n x n + 1 ⋅   l n   x + 1 x n ⋅ 1 x = 0

x 1 / x ⋅ x - ( n + 1 )   - n   l n   x + 1 = 0

Passo 4

Para a equação acima ser nula, o termo entre parênteses precisa então ser nulo, logo:

  - n   l n   x + 1 = 0

n   l n   x   =   1

l n   x n = 1 →   x n = e

x = e 1 / n

Resposta

x = e 1 / n

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