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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.Exercícios práticos - Ex. 49

Utilize o teorema de Green para encontrar a circulação anti-horária e o fluxo exterior para os campos e curvas nos Exercícios 49 e 50.

49. Quadrado F = 2 x y + x i + x y - y j

C: O quadrado limitado por x = 0, x = 1, y = 0, y = 1.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos anotar o que nos foi fornecido pelo enunciado

M = 2 x y + x

N = x y - y

Para calcular a circulação no sentido anti-horário e o fluxo externo usando o Teorema de Green, temos que encontrar as seguintes derivadas parciais:

∂ M ∂ x = ∂ ∂ x 2 x y + x = 2 y + 1

∂ M ∂ y = ∂ ∂ y 2 x y + x = 2 x

∂ N ∂ x = ∂ ∂ x x y - y = y

∂ N ∂ y = ∂ ∂ y x y - y = x - 1

Passo 2

Agora, usando o Teorema de Green

F l u x o   e x t e r n o =   ∫ 0 1 ∫ 0 1 ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y   d x d y = ∫ 0 1 ∫ 0 1 2 y + 1 + x - 1   d x   d y

Que será igual a

∫ 0 1 ∫ 0 1 ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y   d x d y = ∫ 0 1 ∫ 0 1 2 y + x   d x   d y

A integral do lado direito pode ser simplificada da seguinte forma

∫ 0 1 ∫ 0 1 ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y   d x d y = ∫ 0 1 2 x y + + x 2 2 0 1 = ∫ 0 1 2 y + 1 2 0 1   d y

Simplificando um pouco mais os termos

∫ 0 1 ∫ 0 1 ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y   d x d y = y 2 + 1 2 y 0 1 = 1 + 1 2 = 3 2

Passo 3

Fluxo circulante - usando o Teorema de Green

C i r c u n l a n t e =   ∫ 0 1 ∫ 0 1 ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y   d x d y

Que será igual a

∫ 0 1 ∫ 0 1 ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x d y = ∫ 0 1 ∫ 0 1 y - 2 x   d x   d y

A integral do lado direito pode ser simplificada da seguinte forma

∫ 0 1 ∫ 0 1 ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y   d x d y = ∫ 0 1 y x - x 2 0 1 = ∫ 0 1 ( y - 1 )   d y

Simplificando um pouco mais os termos

∫ 0 1 ∫ 0 1 ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x d y = y 2 2 - y 0 1 = 1 2 - 1 = - 1 2

Resposta

F l u x o   e x t e r n o = 3 2

C i r c u n l a n t e =   - 1 2

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