Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.4 - Ex. 12

Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.

é a elipse

Passo 1

Como ele nos pede para usar o teorema de Green, vamos dar uma relembrada. Esse Teorema nos diz que se tivermos uma curva plana simples, fechada e continua delimitada pela região . É valido o seguinte:

Repare que isso só é valido caso existam as derivadas de primeira ordem para e .

Passo 2

Como é uma elipse, sabemos que ela é uma curva plana simples, fechada e continua. Além disso vamos ver que existem as derivadas parciais de primeira ordem tanto para como para . Assim, podemos usar o teorema de Green. Agora vamos achar as derivadas de primeira ordem:

Logo,

e

Para :

E para :

Passo 3

Usando o Teorema de Green:

Logo,

Agora é só correr pro abraço!

Resposta

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