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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.Exercícios práticos - Ex. 50

Utilize o teorema de Green para encontrar a circulação anti-horária e o fluxo exterior para os campos e curvas nos Exercícios 49 e 50.

Triângulo F = y - 6 x 2 i + x + y 2 j . C: O triângulo formado pelas retas y = 0, y = x e x = 1.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos anotar o que nos foi fornecido pelo enunciado

M = y - 6 x 2

N = x + y 2

No intervalo

0 ≤ x ≤ 1 ,     0 ≤ y ≤ x

Para calcular a circulação no sentido anti-horário e o fluxo externo usando o Teorema de Green, temos que encontrar as seguintes derivadas parciais:

∂ M ∂ x = ∂ ∂ x y - 6 x 2 = - 12 x

∂ M ∂ y = ∂ ∂ y y - 6 x 2 = 1

∂ N ∂ x = ∂ ∂ x x + y 2 = 1

∂ N ∂ y = ∂ ∂ y x + y 2 = 2 y

Passo 2

Agora, usando o Teorema de Green

F l u x o   e x t e r n o =   ∫ 0 1 ∫ 0 x ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y   d x d y = ∫ 0 1 ∫ 0 x - 1 2 x + 2 y   d x   d y

A integral do lado direito pode ser simplificada da seguinte forma

∫ 0 1 ∫ 0 1 ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y   d x d y = ∫ 0 1 - 1 2 x y + y 2 0 x = ∫ 0 1 - 12 x 2 + x 2 d x = ∫ 0 1 - 11 x 2   d x

Simplificando um pouco mais os termos

∫ 0 1 ∫ 0 1 ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y   d x d y = - 11 x 3 3 0 1 = - 11 3

Passo 3

Fluxo circulante - usando o Teorema de Green

C i r c u n l a n t e =   ∫ 0 1 ∫ 0 1 ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y   d x d y

Que será igual a

∫ 0 1 ∫ 0 1 ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x d y = ∫ 0 1 ∫ 0 1 1 - 1   d x   d y = 0

Com isso, nós temos que

∫ 0 1 ∫ 0 1 ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x d y = 0

Resposta

F l u x o   e x t e r n o = - 11 3

C i r c u n l a n t e = 0

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