Enunciado

Integral de linha nula – Mostre que

∮ ln ⁡ x sen ⁡ y   d y - cos ⁡ y x d x = 0

para qualquer curva fechada C à qual o teorema de Green se aplica.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Se o teorema se aplica, então

∮ ln ⁡ x sen ⁡ y   d y - cos ⁡ y x d x = ∬ ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y   d x d y

Onde

M x , y = - cos ⁡ y x   e   N x , y = ln ⁡ x sen ⁡ y

Nós podemos denotar como

∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y = ∂ ∂ x ln ⁡ x sen ⁡ y - ∂ ∂ y - cos ⁡ y x

Desenvolvendo os termos

∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y = 1 x sen ⁡ y - sen ⁡ y x = 0

Portanto,

∮ ln ⁡ x sen ⁡ y   d y - cos ⁡ y x d x = ∬ 0   d x d y = 0

Assim, a afirmação foi provada.

Resposta

Respondido acima!!!

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