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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.8 - Ex. 06

Utilize a transformacao no Exercicio 1 para avaliar a integral

∫ 0 4 ∫ x = y 2 x = y 2 + 1 2 x - y 2 d x d y

para a regiao R no primeiro quadrante delimitada pelas retas y = –2x + 4, y = –2x + 7, y = x – 2 e y = x + 1.

Passo 1

Faaaaalaaa meus abençoados, tudo blz?

Primeiro vamos desenhar o gráfico para a gente entender o funcionamento melhor da questão? Olha só se liga como ficou:

Resolvendo a integral na região R :

∫ R ∫ 2 x 2 - x y - y 2   d x d y = ∫ R ∫ x - y 2 x + y   d x d y

∫ G ∫ u v   ∂ x , y ∂ u , v d u d v = 1 3   ∫ G ∫ u v   d u d v

Passo 2

Aqui para acha os limites de G a partir dos limites de R criei uma tabela para facilitar os entendimentos,

Com isso,

1 3   ∫ G ∫ u v d u d v = 1 3 ∫ - 1 2 ∫ 4 7 u v d v d u = 1 3 ∫ - 1 2 u   v 2 2 - 1 2 d u = 11 2 ∫ - 1 2 u d u = 11 2   u 2 2 - 1 2 = 11 4   4 - 1 = 33 4

Resposta

33 4

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Seja R a regiao no primeiro quadrante do plano xy delimitada pelas hiperboles xy = 1, xy = 9 e as retas y = x, y = 4x. Utilize a transformacao x = u/v , y = uv com u0 e v0 para reescrever ∬ R y x + x
a) Resolva o sistema u = x – y, y = 2x + y para x e y em termos de u e y. Em seguida, encontre o valor do jacobiano ∂(x, y)/∂(u, y).b) Encontre a imagem pela transformacao u = x – y, y = 2x + y da reg
a) Encontre o jacobiano da transformacao x = u, y = uv e esboce a regiao G: 1 ≤ u ≤ 2, 1 ≤ uv ≤ 2, no plano uv.b) Em seguida, utilize a Equacao 1 para transformar a integral ∫ 1 2 ∫ 1 2 y xd yd x em u
a) Resolva o sistema u = 3x + 2y, v = x + 4y , para x e y em termos de u e v. Em seguida, encontre o valor do jacobiano ∂(x, y)/∂(u, v).b) Encontre a imagem pela transformação u = 3x + 2y, v = x +4y d